Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями, в каждую из которых включен приемник энергии, обладающий активным и индуктивным сопротивлениями, — два двигателя, соответственно R₁, и L, и R₂ и L₂ (рис. 6.13, а). Требуется найти общий ток I, потребляемый цепью, который представляет собой геометрическую сумму токов в ветвях I, и I₂.

В этой схеме напряжение U источника общее для обеих ветвей цепи. Поэтому векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения U. Затем под углом φ, который можно определить по значению

в сторону отставания (по часовой стрелке от вектора Ú), откладываем вектор тока İ₁. Аналогично под углом φ₂ и Ú откладываем вектор İ₂. Вектор общего тока İ определяем как геометрическую сумму векторов İ₁, и İ₂. Проектируя векторы тока на горизонтальную ось (с ней совмещен вектор напряжения Ú), находим векторы активных токов İ_a1 и İ_а2 в ветвях с R₀ и R₂ и общий активный ток İ_а. На вертикальной оси получим соответственно реактиные токи ве6твей İ_р1 и İ_р2 и общий реактивный ток İ_р.

Из построенной диаграммы можно вывести следующие соотношения. Общий активный ток

I_a = I_a1 + I_a2 = I₁ cosφ₁ + I₂ cosφ₂,

I_a = Icosφ.                                                                                                       (6.59)

Общий реактивный ток

I_р = I_р1 + I_р2 = I₁ sinφ₁ + I₂ sinφ₂.                                                                  (6.60)

Полный ток

I = √_Ia2 + I_p2 = √(I_a1 + I_a2)² + (I_p1 + I_p2)².                                                     (6.61)

Активная мощность, потребляемая всей схемой,

Р = UI, = UIcosφ = U(I₁ cosφ₁, + I₂ cosφ₂).                                                       (6.62)

Этот метод расчета при большом числе параллельных ветвей очень неудобен. Поэтому в подобных случаях пользуются методом проводимостей. Рассмотрим этот метод применительно к схеме, изображенной на рисунке 6.13, а.

Токи в первой и во второй ветвях схемы могут быть определены как

где Z₁ = √R₁² + X₁² и Z₂ = √R₂² + X₂² — полные сопротивления параллельных ветвей.

Величины, обратные полным сопротивлениям, то есть 1/Z₁, и 1/Z₂, называют полными проводимостями и обозначают Y₁, и Y₂:

Y₁ = 1/Z₁, и Y₂ = 1/Z₂ или Z₁ = 1/ Y₁, и Z₂ = 1/ Y₂.

Заменяя в формуле (6.63) величину Z величиной 1/Y, получим:

I₁ = U Y₁, и I₂ = U Y₂.                                                                                        (6.64)

Активные составляющие этих токов

и

I₂ =I₂cosφ₂ = UG₂,

Реактивные составляющие токов а первой и второй ветвях схемы

^{Общие токи в ветвях}

I1 = √I_a1² + I_p1² = √U²G₁² + U²B₁² = U √G₁² + B₁²;                                             (6.66)

Сопоставляя формулы (6.64) и. (6.66), можно заметить:

Y₁ = √G₁² + B₁² и Y₂ = √G₂² + B₂²;                                                                      (6.67)

то есть активная, реактивная и полная проводимости связаны между собой как стороны прямоугольного треугольника. Действительно, треугольник проводимостей (рис. 6.13, в) можно получить из треугольника токов I, Iа и Iр (рис. 6.13, б), если каждую из его сторон разделить на общее напряжение U.

Продолжая расчет токов в схеме, показанной на рисунке 6.13, а, получим активную и реактивную составляющие общего тока:

Ia = I_a1 + I_a2 = UG₁ + UG₂ = U(G₁ + G₂)= UG;

Ip = I_p1 + I_p2 = UB₁ + UB₂ = U(B₁ + B₂)= UB;

где G = G₁ + G₂ и B = B₁ + B₂ — соответственно активная и реактивная проводимости всей цепи.

Общий ток может быть найден как

I = √Ia₂+Ip² = √(UG)²+(UB)² = U√G² + В² = U Y,                                                    (6.68)

где Y = √С² + В² — полная проводимость всей цепи.

Активную Р, реактивную Q и полную S мощности всей цепи можно определить как

P=UI_a = UUG = U²G;

Q = UI_p=UUB= U² В;                                                                                              (6.69)

S = √P² + Q² = √U⁴ G² + U⁴B² = U² √G² + В₂ = U² Y.

Рассмотрим теперь случай параллельного соединения двух ветвей (рис. 6.14, а), в одну из которых включены активное сопротивление и индуктивность, а в другую — активное сопротивление и емкость.

Векторную диаграмму следует начинать строить с вектора напряжения Ú. Затем определить cosφ₁, и cosφ₂, причем cosφ₁, будет отстающим (в цепь включена индуктивность),a cosφ₂ — опережающим (в цепь включена емкость):

По значениям cosφ₁ и cosφ₂ определяют углы φ₁, и φ₂, а затем под этими углами к напряжению откладывают соответствующие им векторы, токов İ₁ и İ₂. Вектор общего тока в цепи İ равен геометрической сумме векторов токов İ₁, и İ₂.

Как видно из векторной диаграммы, общий ток

I = √(I_a1 + I_a2)² + (I_p1 - I_p2)²,

где I_p1 - I_p2 = I_p - реактивный ток в общей цепи.

Выделив на векторной диаграмме (рис. 6.14,6) треугольник токов İ, İ_a = İ_a1 + İ_a2 İ_p = İ_p1 + İ_р2 и поделив их на общее для них напряжение U, получим треугольник проводимостей Y, G, B_L — В_с (рис. 6.14, в), в котором B_L — реактивная проводимость ветви с индуктивностью; Вс — реактивная проводимость с емкостью. Из этого треугольника следует, что

Y=√(G₁ + G₂)² + (B_L —В_с)² ,

то есть полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов результирующих активных и реактивных проводимостей. Общий ток в неразветвленном участке

I= U Y= U√(G₁ + G₂)² + (B_L —В_с)².                                                                        (6.70)

Угол сдвига тока I относительно напряжения может быть найден из треугольника проводимостей по значению тангенса:

Рассмотрим случай, когда B_L = В_с, tgφ =0. и угол φ = 0. Практически этого можно достигнуть, если параллельно первым двум ветвям дополнительно подключить конденсатор С (рис. 6.14, а) такой емкости, чтобы сила емкостного тока в новой ветви I_c = I_p.

Тогда реактивный индуктивный и реактивный емкостный токи полностью скомпенсируют , / друг друга. В общей ветви, как видно из векторной диаграммы, .будет протекать только ток

I = I_a1 +I_a2,

то есть лишь активный ток.

Из формулы (6.70) общий ток

I = U √(G₁+ G₂)² +(0)² = U(G₁ + G₂) = UG.

Явление, которое возникает в подобном случае, носит название резонанса токов. При резонансе токов оказываются равными реактивные индуктивная Q_L и емкостная Q_c мощности, так как

Q_L = U²B_L и Q_c= U²B_c.

Из рисунков 6.6, г и 6.10, г видно, что в отрезке времени, когда мгновенное напряжение возрастает от нуля до максимального как положительного, так и отрицательного значений, мгновенная мощность в цепи с индуктивностью (рис. 6.6, г, полупериоды II и IV) имеет отрицательное значение, а в цепи с емкостью (рис. 6.10, г, полупериоды I и III) — положительное значение, то есть цепь с индуктивностью в этот момент отдает энергию в сеть, а цепь с емкостью потребляет энергию, поскольку конденсаторы заряжаются.

Таким образом, при резонансе токов наблюдается колебательный процесс перехода энергии магнитного поля индуктивности в энергию электрического поля конденсатора и обратно, а энергия от источника расходуется только в сопротивлениях R₁ и R₂. Явление компенсации реактивного тока используют для улучшения (компенсации) коэффициента мощности coscp в электроустановках.