С изменением напряжения на обкладках конденсатора, включенного в цепь переменного тока (рис. 6.10, а), изменяется его заряд. Приращение заряда ∆q, который поступает в конденсатор за очень малый промежуток времени ∆t, равно произведению силы тока i в данный момент времени на единицу времени ∆t:

∆q = i∆t. (6.37)

Но, как рассматривалось выше,

q = Cu,                                          (6.38)

где q — электрический заряд конденсатора, Кл; С — емкость конденсатора, Ф; u — напряжение на обкладках конденсатора, В.

Из выражения (6.38) следует, что приращение заряда ∆q при увеличении напряжения на обкладках конденсатора на ∆u будет равно

∆q = С∆u (6.39)

Согласно формулам (6.37) и (6.38)

i∆t = С∆u,

или

Пользуясь формулой (6.40) и учитывая, что цепь включена на синусоидальное напряжение u = U_m sin ωt, можно построить кривую мгновенных значений тока (рис. 6.10, в). В первую четверть периода приращение напряжения имеет положительный знак. Например, для момента времени 1: u₂—u₁, = +∆u₁ В соответствии с формулой (6.40) мгновенное значение тока в этот момент времени также имеет положительный знак. В момент времени 2, когда кривая напряжения проходит через свой максимум, приращение напряжения за отрезок∆t₂ времени ∆t₂ = 0.

Ток в этот момент времени также равен нулю:

то есть кривая тока в момент времени 2 проходит через нуль. Конденсатор при этом обладает максимальным зарядом. В момент времени 3 приращение напряжения имеет отрицательный знак, так как оно нарастает в отрицательном направлении: u₆—u₅ = —∆u₃. Ток для этого момента времени также отрицателен:

Рассуждая подобным образом, исследуют процесс в каждый момент времени. Для любого момента времени напряжение и ток могут быть подсчитаны как

u = U_m sinωt;

i = I_m sin (ωt + Π/2).                                (6.41)

Чтобы получить соотношения между действующими значениями тока и напряжения в цепи с емкостью, в формуле (6.40) необходимо раскрыть величину

Пусть в момент времени t мгновенное значение напряжения

u = U_m sinωt,

тогда для момента времени t + ∆t мгновенное напряжение

u + ∆u= Um sinω(t + ∆t).

Отсюда

∆u = U_m sin(ωt + ω∆t) — u = U_m[sin(ωt + ω∆t) — sinωt] = = Um (sinωt cosω∆t + cosωt sinω∆t — sinωt).

Поскольку cosω∆t ≈ cos0 = 1 и sinω∆t ≈ ω∆t, то

∆u = U_m(sinωt + cosωt ω∆t — sin ωt) = U_mω∆t cosωt,

откуда

Подставляя в формулу (6.40) вместо

его значение из (6.42), получим:

i = U_mωC cosωt = U_mωC sin(ωt + Π/2).      (6.43)

Следовательно, ток в цепи с емкостью опережает напряжение на 90°, или Π/2 радиан. Векторная диаграмма для начального момента времени представлена на рисунке 6.10,6.

Теперь проследим процесс зарядки и разрядки конденсатора. Если в первую четверть периода конденсатор заряжается, то во вторую четверть периода, когда напряжение, уменьшается от максимального значения до нуля, конденсатор разряжается и посылает ток навстречу приложенному напряжению. Когда напряжение проходит через нуль, ток в цепи достигает своего максимального значения. С момента перехода напряжения через нуль вновь начинается процесс заряда конденсатора, ток совпадает с напряжением по направлению, то есть остается отрицательным по знаку. С увеличением напряжения на обкладках конденсатора ток постепенно убывает. В момент, когда напряжение, достигнув своего максимального отрицательного значения, начинает уменьшаться, конденсатор, полностью зарядившись, начинает разряжаться. Из формул (6.41) и (6.43) имеем:

I_m = U_mωС.

Поделим обе части равенства на √2:

то есть

где I — действующее значение силы тока, A; U — действующее значение напряжения, В; С — емкость конденсатора, Ф; ш — угловая частота тока, рад/с;

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения, приложенного к конденсатору, и емкости конденсатора, то есть чем больше частота и чем больше емкость конденсатора, тем меньше значение емкостного сопротивления (и наоборот). Размерность этого сопротивления

Емкостное сопротивление носит реактивный характер: в моменты, когда мгновенное значение напряжения увеличивается, конденсатор запасает заряд (заряжается), напряжение на его обкладках повышается. При уменьшении мгновенных значений напряжения конденсатор разряжается и отдает запасенный заряд обратно генератору.

Формула (6.44) выражает закон Ома для цепи с емкостной нагрузкой.

Пример 1. Определить силу тока в цепи с конденсатором С = 10 мкФ (10 • 10^-6), если частота переменного тока ƒ = 50 Гц, а напряжение U = 220 В.

Решение. Емкостное сопротивление

Сила тока в цепи

Мгновенная м о щ н о с т ь в каждый момент времени

р = ui = U_m sinωt I_m sin(ωt + П/2) = U_m sin ωt I_m cosωt =( U_mI_m/2)•sin2ωt.       (6.45)

Следовательно, мгновенная мощность — синусоидальная величина, изменяющаяся с двойной частотой по сравнению с частотой тока (напряжения). Кривую мгновенных значений этой мощности можно построить графическим путем (аналогично тому, как показано для цепи с индуктивным сопротивлением на рисунке 6.6, г). Рассматривая полученную развернутую диаграмму мощности, (рис. 6.10, г), можно отметить следующее. Мгновенная мощность, как и в цепи с индуктивностью, колеблется с двойной частотой. В полупериоды I и III мгновенная мощность имеет положительный знак (а при индуктивности — отрицательный). Фактический смысл этого явления заключается в том, что в эти полупериоды конденсатор заряжается — ток совпадает по направлению с напряжением (по знаку). В конденсаторе запасается энергия электрического поля:

где С — емкость конденсатора, Ф; Um - максимальное значение напряжения, приложенного к конденсатору, В.

В полупериоды II и IV, когда напряжение уменьшается от максимального значения до нуля, конденсатор разряжается, отдавая запасенную энергию обратно генератору. Энергия, полученная цепью с конденсатором от генератора за период Т = 1/50 с, равна нулю. Мощность, которая характеризует эту энергию, является реактивной:

Q_c=UI = ωCU².                                                                                                    (6.47)

Как всякую реактивную мощность, ее измеряют в вольт-амперах реактивных (вар).

Реактивная энергия как в цепи с индуктивностью, так и в цепи с емкостью циркулирует между источником тока и токоприемником, не выделяясь и не превращаясь в другие формы энергии на индуктивном или емкостном сопротивлении, но реактивный ток нагружает линию и вызывает в не потери на нагрев проводов.